SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)

Nama: Alifia Nala Ayu Sarasati

Kelas: X MIPA 2

No. Absen: 1

Daftar Pustaka

Alifia Nala Ayu Sarasati. 2021. "Sistem Persamaan Dua Variabel". Jakarta.

A. Pengertian dan Bentuk Umum SPLDV

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear dua variabel yang saling berhubungan dan memiliki satu penyelesaian.

.) Bentuk umum SPLDV:

$ax + by = c$

$px + qy = r$

$x, y$ Dimana:
$a, b, p, q$ disebut koefisien
disebut variabel
$c, r$ disebut konstanta

.) Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan SPLDV:

Mengganti setiap besaran yang terdapat dalam suatu masalah dengan variabel.
Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model matematika ini dirumuskan mengikuti bentuk umum dari SPLDV.
Mencari solusi dari model permasalahan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.

B. Variabel, Konstanta, dan Koefisien

.) Variabel

Variabel adalah notasi pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel disebut juga sebagai peubah. Variabel biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti $a, b, c, …, z$ .

Contoh:

3x-9=6 dimana $x$ merupakan variabel dari persamaan tersebut.

.) Konstanta

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.

Contoh:

Konstanta dari bentuk aljabar $5x + 7$ adalah 7.

.) Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh:

Koefisien $x$ dari $9x - 3$ adalah 9.

C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

.) Metode Eliminasi

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabel dalam suatu SPLDV adalah $x$ dan $y$ maka untuk menentukan nilai dari variabel $x$ kita harus mengeliminasi variabel $y$ terlebih dahulu. Begitupun sebaliknya.

.) Metode Substitusi

Metode substitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.

.) Metode Gabungan (Eliminasi & Substitusi)

Metode gabungan adalah salah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan cara menggabungkan metode eliminasi dengan metode subtitusi.

.) Metode Grafik

Metode grafik adalah salah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan cara menggambarkan persamaan linearnya ke dalam bentuk grafik pada koordinat Cartesius. Titik potong dari kedua persamaan linear tersebut merupakan penyelesaiannya.

D. Contoh Soal SPLDV

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $3x + 2y = 13$ dan $4x - y = 10$ menggunakan metode eliminasi!

Jawab:

Langkah 1 (mencari nilai variabel $x$ dengan mengeliminasi variabel $y$ ):

3x+2y=13 | x 1 | ⇔ 3x+2y=13

4x-y=10 | x 2 | ⇔ 8x-2y=20

-------------------- +

11x=33

x= 3

Langkah 2 (mencari nilai variabel $y$ dengan mengeliminasi variabel $x$ ):

3x+2y=13 | x 4 | ⇔ 12x+8y=52

4x-y=10 | x 3 | ⇔ 12x-3y=30

-------------------- -

11y=22

x= 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3, 2 \right \}$ .

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $3x + 2y = 13$ dan $4x - y = 10$ menggunakan metode subtitusi!

Jawab:

3x+2y=13

x-y=1

Persamaan $x - y = 1$ ekuivalen dengan persamaan $x = y + 1$ . Dengan menyubtitusi persamaan $x = y + 1$ ke persamaan $3x + 2y = 13$ , maka diperoleh:

3x+2y=13

3(y+1) + 2y =13

3y+3 + 2y = 13

5y + 3 =13

5y = 10

y = 2

Kemudian untuk memperoleh nilai $x$ , subtitusikan nilai $y$ ke persamaan $x = y + 1$ , sehingga diperoleh:

x = y+1

x = 2+1

x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3, 2 \right \}$ .

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $3x + 2y = 13$ dan $4x - y = 10$ menggunakan metode gabungan!

Jawab:

Langkah 1 (mencari nilai variabel $x$ dengan metode eliminasi):

3x+2y=13 | x 1 | ⇔ 3x+2y=13

4x-y=10 | x 2 | ⇔ 8x-2y=20

-------------------- +

11x=33

x= 3

Langkah 2 (subtitusikan nilai $x$ ke persamaan $4x - y = 10$ ):

4x-y=10

4(3)-y= 10

12-y = 10

-y = -2

y=2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left \{ 3, 2 \right \}$ .

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $3x + 2y = 13$ dan $4x - y = 10$ menggunakan metode grafik!

Jawab:

2x+6y = 18

x-y=1

Langkah 1 (menggambar grafik dari persamaan $2x + 6y = 18$ ):

Jika $x = 0$ maka $y = \frac{18 - 2(0)}{6} = \frac{18}{6} = 3$ , sehingga diperoleh titik $\left ( 0, 3 \right )$ .
Jika $y = 0$ maka $x = \frac{18 - 6(0)}{2} = \frac{18}{2} = 9$ , sehingga diperoleh titik $\left ( 9, 0 \right )$ .

Bentuk grafiknya:

Langkah 2 (menggambar grafik dari persamaan $x - y = 1$ ):

Jika $x = 0$ maka $y = -1$ , sehingga diperoleh titik $\left ( 0, -1 \right )$ .
Jika $y = 0$ maka $x = 1$ , sehingga diperoleh titik $\left ( 1, 0 \right )$ .

Bentuk grafik:

Langkah 3 (menggabungkan kedua grafik):

E. Contoh Soal Cerita SPLDV

1. Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil!

Jawab:

Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y.

Dari soal di atas, dapat dibentuk model matematika sebagai berikut:

Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500. Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.000. Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel berikut.

4x + 3y = 19.500

2x + 4y = 16.000

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Untuk mengeliminasi variabel x, maka kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

4x + 3y	=	19.500	\|× 1\|	→	4x + 3y	=	19.500
2x + 4y	=	16.000	\|× 2\|	→	4x + 8y	=	32.000	−
					−5y	=	−12.500	−
					y	=	2.500

Untuk mengeliminasi variabel y, maka kalikan persamaan pertama dengan 4 dan kalikan persamaan kedua dengan 3 lalu selisihkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

4x + 3y	=	19.500	\|× 4\|	→	16x + 12y	=	78.000
2x + 4y	=	16.000	\|× 3\|	→	6x + 12y	=	48.000	−
					10x	=	30.000	−
					x	=	3.000

Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500. Dengan demikian, harga sebuah buku tulis adalah Rp3.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp2.500,00.

2. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya, carilah panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut!

Jawab:

Misalkan panjang dari persegi panjang itu sama dengan x cm dan lebarnya y cm. Model matematika yang sesuai dengan persolan di atas adalah sebagai berikut.

2(panjang + lebar) = keliling persegi panjang

⇒ 2x + 2y = 44

⇒ x + y = 22

Lebar 6 cm lebih pendek dari panjang, maka:

⇒ y = x – 6

Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut.

x + y = 22

y = x – 6

Dengan menggunakan metode substitusi maka penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah sebagai berikut.

Pertama, untuk menentukan nilai x, subtitusikan persamaan y = x – 6 ke persamaan x + y = 22 sehingga diperoleh:

⇒ x + y = 22

⇒ x + (x – 6) = 22

⇒ 2x – 6 = 22

⇒ 2x = 22 + 6

⇒ 2x = 28

⇒ x = 14

Kedua, untuk menentukan nilai y, subtitusikan nilai x = 14 ke persamaan y = x – 6 sehingga diperoleh:

⇒ y = x – 6

⇒ y = 14 – 6

⇒ y = 8

Jadi, panjang persegi panjang itu adalah 14 cm dan lebarnya adalah 8 cm.

3. Lisa dan Muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapat meyelesaikan 3 buah tas setiap jam dan Muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam. Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, tentukan jam kerja mereka masing-masing.

Jawab:

Misalkan jam kerja Lisa adalah x jam dan Muri adalah y jam maka model matematika yang sesuai dengan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Setiap 1 jam Lisa membuat 3 tas dan Muri 4 tas, dalam sehari mereka membuat 55 tas, maka:

3x + 4y = 55

Jumlah jam kerja Lisa dan Muri adalah 16 jam, maka:

x + y = 16

Dengan demikian, kita peroleh model matematika berbentuk SPLDV berikut:

3x + 4y = 55

x + y = 16

Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi dan subtitusi), maka penyelesaian dari SPLDV di atas adalah sebagai berikut.

Metode Eliminasi

3x + 4y	=	55	\|× 1\|	→	3x + 4y	=	55
x + y	=	16	\|× 3\|	→	3x + 3y	=	48	−
					y	=	7	−

Metode Subtitusi

Subtitusikan nilai y = 7 ke persamaan x + y = 16 sehingga diperoleh:

⇒ x + y = 16

⇒ x + 7 = 16

⇒ x = 16 – 7

⇒ x = 9

Jadi, Lisa bekerja 9 jam dan Muri bekerja 7 jam dalam sehari.

4. Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II yang terjual.

Jawab:

Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear. Misalkan banyak karcis I dan II yang terjual secara berturut-turut adalah x dan y, maka kalimat “Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar, dapat dimodelkan menjadi:

Pers 1

Sedangkan kalimat, “Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, dapat dimodelkan menjadi:

Pers 2

Sehingga diperoleh SPLDV sebagai berikut.

SPLDV

Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Titik Potong Sumbu

Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 500).

Titik Potong Sumbu 2

Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406 1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).

Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500, serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000.

Langkah keempat, kita gunakan selesaian di atas untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita. Karena x dan y secara berturut-turut menyatakan banyak karcis I dan II yang terjual, maka banyaknya karcis kelas I yang terjual adalah 125 lembar dan 375 lembar untuk karcil kelas II.

Cari Blog Ini

perasaan keterima di SMAN 63 Jakarta