SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel)

Nama: Alifia Nala Ayu Sarasati

Kelas: X MIPA 2

No. Absen: 1

A. Pengertian dan Bentuk Umum SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga persamaan linear yang masing – masing persamaannya juga bervariabel tiga. 

.) Bentuk Umum SPLTV

Dengan  adalah bilangan real.

Keterangan:

 adalah koefisien dari 

 adalah koefisien dari 

 adalah koefisien dari 

 adalah konstanta

 adalah variabel (peubah)

B. Ciri – Ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
2. Memiliki tiga variabel
3. Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

C. Komponen Pembentuk SPLTV

.) Variabel

Variabel adalah notasi pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas. Variabel disebut juga sebagai peubah. Variabel biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti . 

contoh: 

  , dimana x merupakan variabel.  

.) Konstanta

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.

contoh:

 , dimana 7 merupakan konstanta.

.) Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

contoh:

Koefisien  dari  adalah 9.

D. Contoh Soal Menggunakan Metode Campuran

1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.

x – y + 2z = 4

2x + 2y – z = 2

3x + y + 2z = 8

Jawab:

.) Metode Eliminasi

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. 

x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1

2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2

3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1

Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. 

x – y + 2z	=	4	|× 2|	→	2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	|× 1|	→	2x + 2y – z	=	2
3x + y + 2z	=	8	|× 2|	→	6x + 2y + 4z	=	16

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang.  

●Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	+
4x + 3z	=	10

●Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 2y – z	=	2
6x + 2y + 4z	=	16	−
−4x − 5z	=	−14
4x + 5z	=	14

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

4x + 3z = 10

4x + 5z = 14

.) Metode Substitusi

Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 4x + 3z = 10

⇒ 4x = 10 – 3z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ 4x + 5z = 14

⇒ (10 – 3z) + 5z = 14

⇒ 10 + 2z = 14

⇒ 2z = 14 – 10

⇒ 2z = 4

⇒ z = 2

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:

⇒ 4x + 3(2) = 10

⇒ 4x + 6 = 10

⇒ 4x = 10 – 6

⇒ 4x = 4

⇒ x =1

Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ x – y + 2z = 4

⇒ (1) – y + 2(2) = 4

⇒ 1 – y + 4 = 4

⇒ 5 – y = 4

⇒ y = 5 – 4

⇒ y = 1

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.

E. Contoh Soal Menggunakan Metode Matriks

1. Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tiga variabel berikut ini.

2x + y – z = 1

x + y + z = 6

x – 2y + z = 0

Jawab:

Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut.

2x + y – z = 1 …………… Pers. (1)

x + y + z = 6 …….……… Pers. (2)

x – 2y + z = 0 …………… Pers. (3)

Kemudian, persamaan (1), (2), dan (3) kita susun dalam bentuk matriks berikut.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.

2	1	−1		x	=	1
1	1	1		y		6
1	−2	1		z		0

Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut.

A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)

A-1	=	1	adj	a1	b1	c1
				a2	b2	c2
		det A
				a3	b3	c3

Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut.

.) Menentukan determinan matriks A

Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.

A	=	2	1	−1	2	1
		1	1	1	1	1
		1	−2	1	1	−2

Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut.

det A = [(2)(1)(1) + (1)(1)(1) + (−1)(1)(−2)] – [(1)(1)(−1) + (−2)(1)(2) + (1)(1)(1)]

det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1]

det A = 5 – (−4)

det A = 9

.) Adjoin matriks A

Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut.

Adj A = (matriks kofaktor A)T

Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.

.) Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]

Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

kof(A)	=	K11	K12	K13
		K21	K22	K23
		K31	K32	K33

Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.

K11 = (−1)1 + 1 M11

M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.

M11	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M11	=	1	1	=	[(1)(1)] – [(−2)(1)]	=	3
		−2	1

Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut.

K11 = (−1)1 + 1 (3) = 3

K12 = (−1)1 + 2 M12

M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.

M12	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M12	=	1	1	=	[(1)(1)] – [(1)(1)]	=	0
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.

K12 = (−1)1 + 2 (0) = 0

K13 = (−1)1 + 3 M13

M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.

M13	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M13	=	1	1	=	[(1)(−2)] – [(1)(1)]	=	−3
		1	−2

Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut.

K13 = (−1)1 + 3 (−3) = −3

K21 = (−1)2 + 1 M21

M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.

M21	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M21	=	1	−1	=	[(1)(1)] – [(−2)(−1)]	=	−1
		−2	1

Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut.

K21 = (−1)2 + 1 (−1) = 1

K22 = (−1)2 + 2 M22

M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.

M22	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M22	=	2	−1	=	[(2)(1)] – [(1)(−1)]	=	3
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut.

K22 = (−1)2 + 2 (3) = 3

K23 = (−1)2 + 3 M23

M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.

M23	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M23	=	2	1	=	[(2)(−2)] – [(1)(1)]	=	−5
		1	−2

Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.

K23 = (−1)2 + 3 (−5) = 5

K31 = (−1)3+ 1 M31

M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.

M31	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M31	=	1	−1	=	[(1)(1)] – [(1)(−1)]	=	2
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.

K31 = (−1)3 + 1 (2) = 2

K32 = (−1)3+ 2 M32

M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.

M32	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M32	=	2	−1	=	[(2)(1)] – [(1)(−1)]	=	3
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut.

K32 = (−1)3 + 2 (3) = −3

K33 = (−1)3+ 3 M33

M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.

M33	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M33	=	2	1	=	[(2)(1)] – [(1)(1)]	=	1
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut.

K33 = (−1)3 + 3 (1) = 1

Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut.

K11 = 3		K21 = 1		K31 = 2
K12 = 0		K22 = 3		K32 = −3
K13 = −3		K23 = 5		K33 = 1

Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

kof(A)	=	3	0	−3
		1	3	5
		2	−3	1

.) Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]

Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

[kof(A)]T	=	3	1	2
		0	3	−3
		−3	5	1

Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut.

Adj A = (matriks kofaktor A)T

Adj A	=	3	1	2
		0	3	−3
		−3	5	1

Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

x	=	1	adj	2	1	−1		1
y				1	1	1		6
		det A
z				1	−2	1		0

x	=	1		3	1	2		1
y				0	3	−3		6
		9
z				−3	5	1		0

x	=	3/9	1/9	2/9		1
y		0/9	3/9	−3/9		6
z		−3/9	5/9	1/9		0

x	=	(3/9 × 1) + (1/9 × 6) + (2/9 × 0)
y		(0/9 × 1) + (3/9 × 6) + (−3/9 × 0)
z		(−3/9 × 1) + (5/9 × 6) + (1/9 × 0)

x	=	3/9 + 6/9 + 0
y		0 + 18/9 + 0
z		−3/9 + 30/9 + 0

x	=	9/9
y		18/9
z		27/9

x	=	1
y		2
z		3

Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {(1, 2, 3)}.