Luas Segi-n Beraturan, Jari-Jari Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

Nama: Alifia Nala Ayu Sarasati

Kelas: X MIPA 2

No. Absen: 1

Daftar Pustaka

Alifia Nala Ayu Sarasati. 2022. "Luas Segi-n Beraturan, Jari-Jari Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga, Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran" . Jakarta.

I. LUAS SEGI-N BERATURAN

A. Pengertian Segi-n Beraturan

Segi-n beraturan ialah segi yang sama panjang semua sisinya dan sama besar semua sudutnya. Selain itu adapula yang mengartikan segi-n beraturan sebagai bangun datar yang mempunyai jumlah segi lebih dari empat dan beraturan. Adapun contoh segi n beraturan yaitu bangun datar segi delapan beraturan, segi enam beraturan, segi sepuluh beraturan dan sebagainya.

Dalam bangun datar segi n beraturan terdapat luas dan keliling yang dapat dihitung menggunakan jari jari dan sudut pusat. Sudut pusat ialah sudut yang terdapat pada segitiga dengan besar 360º/n. Dalam gambar di atas, kita dapat melihat tanda sudut berwarna merah yang menandakan sebagai letak sudut pusat. Sedangkan huruf x pada gambar tersebut menunjukkan sisi sisi pada bangun segi n beraturan. 

B. Rumus Luas Segi-n Beraturan 

Luas Bangun Segi n Beraturan

Segi-n beraturan dapat dihitung luasnya menggunakan konsep luas segitiga dengan sinus. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan akan menjadi seperti di bawah ini:

Luas segitiga = ½ . r . r . sin θ = ½ r² sin 360°/n

Dari persamaan tersebut dapat diperoleh rumus luas segi n beraturan seperti berikut ini:

Luas segi n = n x Luas segitiga

Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n

Keliling Bangun Segi n Beraturan

Untuk keliling bangun datar segi n beraturan dapat dihitung menggunakan konsep segitiga aturan kosinus, dimana sisi segi n (x) nya dapat ditentukan panjangnya. Adapun cara mencari panjang x pada segitiga menggunakan aturan kosinus yaitu:

Dari persamaan di atas dapat kita peroleh rumus keliling segi n beraturan seperti di bawah ini:

Catatan:
θ ialah sudut pusat yang besarnya 360º/n

C. Contoh Soal Luas Segi-n Beraturan

1. Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?

Pembahasan:

Diketahui : r = 9 cm; n = 12
Ditanyakan : Luas = ?
Jawab :
Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut dapat dilakukan dengan rumus seperti di bawah ini:
Luas = n/2 r² sin 360º/n
          = 12/2 x 9² x sin 360º/12
          = 6 x 81 x sin 30º
          = 6 x 81 x ½ 
          = 243 cm²
Jadi luas segi 12 beraturan tersebut ialah 243 cm².

2. Bangun datar segi 12 beraturan memiliki besar luas 48 cm². Maka tentukan:
a. Panjang sisi dan panjang jari jari
b. Keliling segi 12 beraturan

Pembahasan:

a. Contoh soal segi n beraturan tersebut dapat diselesaikan dengan rumus tertentu. Adapun rumus luas segi n beraturan yaitu sebagai berikut:
Luas Segi 12 = n/2 r² sin 360°/n
               48 = 12/2 r² sin 360°/12
               48 = 6r² sin 30
               48 = 6r² ½
               48 = 3r²
                r² = 16
                 r = 4 cm

Maka,
Panjang sisi segi 12 = r√(2 – 2 cos 360°/n)
                              = 4√(2 – 2 cos 360°/12)
                              = 4√(2 – 2 cos 30°)
                              = 4√(2 – 2.½√3)
                              = 4√(2 – √3)

b. Selanjutnya menggunakan rumus keliling segi n beraturan dengan beberapa langkah seperti di bawah ini:
Keliling = n.x
           = 12.4√(2 – √3)
           = 48√(2 – √3)

II. JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA

Pada sebuah lingkaran yang terletak di dalam segitiga yang menyinggung tiga titik pada setiap sisi segitiga memiliki suatu hubungan. Hubungan antara lingkaran dalam segitiga tersebut adalah panjang jari-jari lingkaran dengan luas segitiga. Begitu juga sebaliknya, pada sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga yang menyinggung ketiga sisi segitiga. Hubungan antara lingkaran yang menyinggung setiap sisi segitiga dapat digunakan untuk mengetahui panjang jari-jari lingkaran.

A. Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahwa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjag jari-jari lingkaran dalam segitiga.

B. Lingkaran Luar Segitiga

Bentuk berikutnya adalah sebuah lingkaran berjari-jari r yang terdapat di luar segitiga ABC. Diketahui bahwa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat 3 titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. luar segitiga.

Sisi-sisi segitiga ABC memiliki panjang sisi sama dengan a, b, dan c. Ketiga sisi segitiga yang diketahui dapat digunakan untuk mengetahui besar luas segitiga atau kelilingnya. Dari luas tersebut kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Jari-jari lingkaran tersebut dapat dihitung menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar segitiga seperti persamaan di bawah.

III. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

A. Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AC = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.

AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). CE adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, dimana CE⊥AC. Melalui titik B, kita dapat menarik garis BD yang sejajar dengan garis CE. (BD//CE), sehingga CD = BE = r2, dan ∠ADB = 90o.

Maka ΔADB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phytagoras, yaitu:
AB2 = AD2 + BD2
BD2 = AB2 – AD2
        = AB2 – (AC + CD)2
        = s2 – (r1 + r2)2

Karena BD//CE dan ∠ADB = ∠ACE = 90o, maka CE = BD. Jadi, CE2 = s2 – (r1 + r2)2. Sehingga, dapat kita simpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:

d2 = s2 – (r1 + r2)2

dengan r1 > r2, dan
d : panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r1 : jari-jari lingkaran pertama
r2 : jari-jari lingkaran kedua

B. Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AD = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.

AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). DE adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, dimana DE⊥AD. Melalui titik B, dapat ditarik garis BC yang sejajar garis DE (BC//DE), sehingga BE = CD = r2, dan ∠ACB = 90o.

Maka ΔACB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phytagoras,
AB2 = AC2 + BC2
BC2 = AB2 – AC2
        = AB2 – (AD – CD)2
        = s2 – (r1 – r2)2


Karena BC//DE dan ∠ACB = ∠ADE = 90o, maka DE = BC. Jadi, DE2 = s2 – (r1 – r2)2. Maka panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dirumuskan:

l2 = s2 – (r1 – r2)2

dengan r1 > r2, dan
l : panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran
s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran
r1: jari-jari lingkaran pertama
r2: jari-jari lingkaran kedua

C. Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Luar/Dalam Lingkaran

1. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Panjang jari-jari lingkaran yang besar adalah 6 cm. Jika jarak antara kedua titik pusat sama dengan 17 cm, hitunglah panjang jari-jari yang lingkaran kecil!

Penyelesaian:

d = 15 cm,

r1 = 6 cm,

s = 17 cm

d2 = s2 – (r1 + r2)2

152 = 172 – (6 + r2)2

225 = 289 – (6 + r2)2

(6 + r2)2 = 289 – 225

               = 64

6 + r2 = √64

6 + r2 = 8

r2 = 8 – 6 = 2 cm

Jadi panjang jari-jari lingkaran kecil adalah 2 cm.